Stringオブジェクト同士の大小比較にはcompareToメソッドを使用します。
compareToメソッドは

public int compareTo(Object o)
public int compareTo(String anotherString)

の二つがありますが、String型同士の比較は後者のメソッドを使用します。
この時compareToメソッドの戻り値はAPIには、

引数文字列がこの文字列に等しい場合は、値 0。この文字列が文字列引数より辞書式に小さい場合は、0 より小さい値。この文字列が文字列引数より辞書式に大きい場合は、0 より大きい値

とあります。ですので、String型同士の比較は必ずint型の0と比較します。

public class StringTest {

    public static void main(String[] args) {
        String a = new String("test1");
        String b = new String("test2");
        if(a.compareTo(b) == 0){
            System.out.println("正しい");
        }else{
            System.out.println("正しくない");
        }
    }
}

出力結果は以下のようになります。

正しくない